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【新鄉(xiāng)市一中九下月測23】【相似/全等/直角三角形】【瓜豆原理】【點圓最值】

2023-08-22 20:07:15來源：個人圖書館-八旗娃娃

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試題內(nèi)容


【資料圖】

如圖,延長AD至點E，使DE=DA，連接EP、EQ，

設(shè)CP與BA的交點為M,

∵點D是CP的中點,

∴DP=DC，

∵∠EDP=∠ADC，

∴△EDP?△ADC，

∴∠MCA=∠EPQ，AC=EP，【X型全等】

∵點P、Q、C三點共線,

∴BQ⊥PC，

∵ ∠CMA=∠BMQ,∠MAC=∠MQB=90°，

∴ ∠MCA=∠ABQ，【八字型相似】

∴∠EPQ=∠ABQ，

∵AC=3,AB=6，

∴tan∠CBA=tan∠PBQ=(1/2)，

∴(AC/AB)=(EP/AB)=(1/2)=(PQ/BQ)，

∴△EPQ～△ABQ，【手拉手型相似】

∴∠PQE=∠BQA，

∴∠PQE-∠EQB=∠BQA-∠EQB，

∴∠PQB=∠EQA=90°，

∴在Rt△EQA中,

QD=(1/2)AE=AD，【類比遷移部分】

∴CQ+PQ=2DP=2(QD+PQ)=2(AD+PQ)，

∴CQ -PQ=2AD.

第三問

瓜豆原理+點圓最值

線段AD的長度的最大值為[(3√5)+4]/2，理由如下：

作點C關(guān)于直線AB的對稱點C"，連接C"P，

易證AD為△CC"P的中位線，

∴當C"P取得最大值時，AD取得最大值(1/2)C"P.【瓜豆現(xiàn)象】

①如左圖,當BP=(1/3)AB=2時，

∵點P在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，

∴當C"、B、P三點共線時，C"P取得最大值，

在直角三角形AC"B中，

由勾股定理得：

C"B=(3√5),

∴C"P=C"B+BP=(3√5)+2，

∴ADmax=[(3√5)+2]/2.

②如右圖,當BP=(2/3)AB=4時，

∵點P在以點B為圓心，4為半徑的圓上運動，

∴當C"、B、P三點共線時，C"P取得最大值，

在直角三角形AC"B中，

由勾股定理得：

C"B=(3√5),

∴C"P=C"B+BP=(3√5)+4，

∴ADmax=[(3√5)+4]/2.

綜上所述，當點P在靠近點A的三等分點處時,線段AD的長度取得最大值，

最大值為[(3√5)+4]/2.

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